Question

已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，的面积最大，最大面积为.

试题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆的方程求.2. 第（Ⅰ）问，求的取值范围.其主要步骤与方法为：由，得关于、的不等式……   ①.由根与系数的关系、，在椭圆上，可以得到关于、、的等式……      ②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了，那还有关于和的不等式，如何求出的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，和一起被消掉，得到了关于的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）问要把的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到的面积，函数中有两个自变量和，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉后，事实上，也自动地消除了，于是得到了面积和自变量的函数关系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范围，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.
试题解析：:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得
 解方程组得
∴椭圆的方程为．
由，得．
根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.
∴，
化简得：．
设、，则
．
（1）当时，点、关于原点对称，，满足题意；
（2）当时，点、关于原点不对称，.
由，得 即 
∵在椭圆上，∴，
化简得：．
∵，∴．
∵，
∴，即且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．
（Ⅱ）当时，，此时，、、三点在一条直线上，不构成.
∴为使的面积最大，.
∵
∴.
∵原点到直线的距离，
∴的面积．
∵，，
∴.
∴．
∵，
∴．
“” 成立，即．
∴当时，的面积最大，最大面积为