Question

已知为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为-2.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，为椭圆的左顶点。试判断的大小是否为定值，并说明理由.

Answer 1

（I）  （II）定值.

试题分析：（I）M是椭圆上的点， 可以转化为关于的二次函数，利用二次函数求最值，可求得椭圆方程中的参数和；（II）利用直线与圆锥曲线相交的一般方法，将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理，求,继而判定是否为定值.
试题解析：（I）,设，则，因为点在椭圆上，则，，又因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，从而求得，故椭圆的方程为;
（II）设直线的方程为,
联立方程组可得，化简得：,
设，则，又, ，由得,
所以,所以，所以为定值.