Question

14．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O、M分别为AB、VA的中点．
（1）求证：平面MOC⊥平面VAB
（2）求点O到面VAC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（2）利用等体积法求点O到面VAC的距离．

解答 （1）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
（2）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴S_△OAM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵OC⊥平面VAB，
∴V_C-OAM=$\frac{1}{3}$OC•S_△VAB=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
△AMC中，AM=1，AC=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{2}$，∴S_△AMC=$\frac{1}{2}•1•\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$
设点O到面VAC的距离为h，则
∵V_O-AMC=V_C-OAM，
∴$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{4}h$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，即点O到面VAC的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用平面与平面垂直的判定定理是关键．