Question

7．已知正数x，y满足：x²+2xy=3，则z=$\frac{y}{x}$+$\frac{y-1}{x-1}$的取值范围是z＞-3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意y=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$＞0，则0＜x＜$\sqrt{3}$，再化简z，结合导数知识，即可得出结论．

解答 解：由题意y=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$＞0，则0＜x＜$\sqrt{3}$
z=$\frac{y}{x}$+$\frac{y-1}{x-1}$=$\frac{3}{2{x}^{2}}$-x-$\frac{7}{2}$，
∵x＞0，
∴z′=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-1＜0，
∴函数在（0，$\sqrt{3}$）上单调递减，
∴z＞-3-$\sqrt{3}$，
故答案为：z＞-3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查最值的求法，考查导数知识的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．