Question

已知函数f（x）=x²-2ax-3a²，（a＞

1

4

）
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把二次函数f（x）的解析式配方，利用配方法求函数的值域．
（2）函数f（x）的对称轴为 x=a，分a≥1时和1＞a＞

1

4

两种情况求出函数f（x）在区间[1，4a]上的值域，由-4a≤f（x）≤4a恒成立可得，f（x）的最小值大于或等于-4a，最大值小于或等于4a，解不等式组求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵a=1，
∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
故函数的值域为[-4，+∞）．
（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为 x=a．
当a≥1时，在区间[1，4a]上，函数f（x）最小值为-4a²，最大值为5a²，由题意得
-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，显然 a无解．
当1＞a＞

1

4

时，函数f（x）在[1，4a]上是增函数，最小值为1-2a-3a²，最大值为 5a²，
由题意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得 

1

4

a≤

4

5

，故实数a的取值范围为 (

1

4

，

4

5

]．

点评：本题考查求二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，求函数f（x）在区间[1，4a]上的值域是解题的难点．