Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）设$\frac{PM}{PD}=λ$，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥AC． EF⊥AC，推出PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．  
（Ⅱ）以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．求出相关点的坐标，
求出$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，平面PBC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，
所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …（1分）
由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…（2分）
因为PA⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，所以PA⊥EF． …（3分）
又因为PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，…（4分）
所以EF⊥平面PAC．  …（5分）
（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）
（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E（1，1，0）．
所以$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，…（6分）
由已知，$\overrightarrow{PM}=λ{\overrightarrow{PD}_{\;}}（λ∈[0，1]）$，故$\overrightarrow{PM}=（-2λ，2λ，-2λ）$，
所以M（-2λ，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{ME}=（1+2λ，1-2λ，2λ-2）$，…（7分）
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.$
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（9分）
所以$sinθ=|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{n}|=\frac{|\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{ME}||\overrightarrow{n}|}$

=$\frac{|1+2λ+1-2λ+2λ-2|}{{\sqrt{{{（1+2λ）}^2}+{{（1-2λ）}^2}+{{（2λ-2）}^2}}•\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，…（10分）
化简得4λ²+4λ-3=0，…（11分）
故$λ=\frac{1}{2}$或$λ=-\frac{3}{2}$（舍）…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面市场价的求法，考查空间想象能力以及计算能力．