Question

已知函数f（x）=-x²+2b|x|+6，x∈[-1，a]，且a＞-1，
（1）若a=0，b=3，求函数f（x）的值域；
（2）若b=3，且函数y=f（x）-11有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
（3）若b是常数且|b|＞1，设函数y=f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=0，b=3时，f（x）=-x²-6x+6，根据x∈[-1，0]，利用函数的单调性求得函数的值域．
（2）当b=3时，f（x）=-x²+6|x|+6，函数y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，数形结合求得函数y=f（x）-11有三个不同的零点时，实数a的取值范围．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的对称轴为x=b，再分对称轴在区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数f（x）的最大值g（a），综合可得结论．

解答： 解：（1）当a=0，b=3时，f（x）=-x²-6x+6，
∵x∈[-1，0]，f（x）为减函数，
故当x=-1时，f（x）取最大值11，当x=0时，f（x）取最小值6，
故函数f（x）的值域为[6，11]．
（2）当b=3时，f（x）=-x²+6|x|+6，
函数y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，
其图象如下图所示：
由图可得：若函数y=f（x）-11有三个不同的零点，
则实数a≥5，
即实数a的取值范围为[5，+∞）．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的对称轴为x=b，
∵x∈[-1，a]，且a＞-1
①当b＜-1时，函数f（x）在[-1，a]上是减函数，
函数y=f（x）的最大值为g（-1）=f（-1）=2b+5．
②当-1≤b≤a时，函数y=f（x）的最大值为g（b）=f（b）=-b²+2b|b|+6．
③当b＞a时，函数f（x）在[-1，a]上是增函数，
函数y=f（x）的最大值为g（a）=f（a）=-a²+2b|a|+6．
综上可得，g（a）=

2b+5  ，b＜-1 -b2+2b|b|+6  ，-1≤b≤a -a2+2b|a|+6  ，b＞a

．

点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．