Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，一条斜率等于1的直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求弦AB最长时直线l的方程；
（2）求△ABC面积最大时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）欲求弦AB最长时直线L的方程，依据圆的特征：圆的直径是最长的弦，只须求出l过圆心时的方程即可；
（2）欲求△ABC面积最大时直线L的方程，因其两腰定长，故只须顶角为直角时面积最大，最后利用点到直线的距离公式求解即可；

解答： 解：（1）∵L过圆心时弦长AB最大，圆心坐标为（1，-2），∴L的方程为x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面积S=

1

2

CA•CBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
当∠ACB=

π

2

时，△ABC的面积S最大，
此时△ABC为等腰三角形；
设L方程为y=x+m，则圆心到直线距离为

3 2

2

，
从而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

，
m=0或m=-6，
则L方程为x-y=0或x-y-6=0（8分）．

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．属于中档题．