Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）求直线DM与平面ABEF所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先根据三视图可得直观图为直三棱柱，欲证CM⊥平面FDM，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CM与平面FDM内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知FD⊥CM，以及根据勾股定理可知CM⊥DM，FD?平面FDM，DM?平面FDM，满足定理所需条件；
（2）在平面ADF上，过D作AF的垂线，垂足为H，连DM，根据线面所成角的定义可知∠DMH是DM与平面ABEF所成的角，然后在三角形DHM中求出此角即可．

解答： 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a，
（1）显然FD⊥平面ABCD，
又CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M为AB中点，DM=CM=

2

a，
∴CM⊥DM
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，
∴CM⊥平面FDM；
（2）在平面ADF上，过D作AF的垂线．
垂足为H，连DM，
则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角（12分）
在Rt△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

∴∠DMH=

π

6

．所以直线DM与平面ABEF所成角为

π

6

．

点评：本题主要考查直线与平面垂直的判定和直线与平面所成角的计算，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．