Question

已知函数f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若方程f（x）=0在区间[

2

，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=2代入，求出函数的导数，解不等式得到单调区间，从而求出极值，
（2）先求出函数的导数，再分别讨论①a≤0时②a＞0时的情况，从而求出单调区间，
（3）将问题转化为：方程a=

x2

lnx

在区间[

2

，e]上有且只有一个解，令g（x）=

x2

lnx

，则g′（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，从而解决问题．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=x²-2lnx，x＞0，
∴f′（x）=

2(x2-1)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=

2x2-a

x

，x＞0，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a 2

，x＜-

a 2

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a 2

，
∴f（x）在（0，

a 2

）递减，在（

a 2

，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增
a＞0时，f（x）在（0，

a 2

）递减，在（

a 2

，+∞）递增；
（3）由题意得：方程a=

x2

lnx

在区间[

2

，e]上有且只有一个解，
令g（x）=

x2

lnx

，则g′（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，
令g′（x）=0，解得：x=

e

，
∴g（x）在（

2

，

e

）上递减，在（

e

，e）递增，
又g（

2

）=

4

ln2

＜g（e）=e²，
∴方程a=

x2

lnx

在区间[

2

，e]上有且只有一个解时，
有

4

ln2

＜a≤e²，或a=2e，
∴实数a的取值范围时：{a|

4

ln2

＜a≤e²或a=2e}．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，参数的范围，导数的应用，是一道综合题．