Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数．求实数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x），计算f（x）在点P（0，f（0））处的切线斜率k，由切线方程为y=3x-2，得k=f′（0）=a的值与b的值；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）=x²-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，分离参数m≤（x-1）⁴+2（x-1）²，求出右边的最小值，即可求实数m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，
∴f′（x）=x²-2x+a；
又函数f（x）在点P（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=a，切线方程为y=3x-2；
∴f′（0）=3，f（0）=-2，即a=3，b=-2；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数，
∴g′（x）=x²-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
∴m≤（x-1）⁴+2（x-1）²，
令h（x）=（x-1）⁴+2（x-1）²，则h′（x）=4（x-1）³+4（x-1）≥0
∴h（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=3，
∴m≤3，
∴实数m的最大值为3．

点评：本题考查了利用导数求函数图象上过某点切线方程的斜率，根据切线方程求函数解析式的系数问题，考查恒成立问题，正确求导是关键．