Question

如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，Q为AD的中点，且QB⊥AD．
（Ⅰ）求证：PB⊥BC；
（Ⅱ）若点M在PC上，且

PM

MC

=

1

2

，求三棱锥C-MQB与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：证明题

分析：（Ⅰ）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD，又QB⊥AD，得到AD⊥平面QPB，再由BC∥AD，可得BC⊥面PQB，从而证明BC⊥PB．
（Ⅱ）不难得出PQ⊥面PBQ，设M到面ABCD的距离为h，则有

h

PQ

=

2

3

，得到

VC-MQB

VP-ABCD

=

VM-QBC

VP-ABCD

=

1 6 SABCD•h

1 3 SABCD•PQ

，再代入计算即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，PQ∩QB=Q，
∴AD⊥平面QPB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，
∴BC⊥面PQB，
∴BC⊥PB．
（Ⅱ）由于面PAD⊥面ABCD，且PQ⊥AD，
∴PQ⊥面PBQ，
∴PQ的长即为四棱锥P-ABCD的高，
设M到面ABCD的距离为h，
则由

PM

MC

=

1

2

知，

h

PQ

=

2

3

，
∴h=

2

3

PQ．
设四边形ABCD的面积为S，
∴V_C-MQB=V_M-QBC=

1

3

×

1

2

Sh=

1

9

S•PQ，
∴

VC-MQB

VP-ABCD

=

1 6 Sh

1 3 S•PQ

=

1

3

．

点评：本题是对立体几何的综合考查，涉及到点、线、面的位置关系和立体几何中的计算问题，特别是计算体积时，“转化”是我们常见的方法，常见的有等体积法，割补法等等．