Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（1）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（2）设x＞0，讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（3）设函数h（x）满足x²h′（x）+2xh（x）=

f(x)

x

，h（2）=

f(2)

8

，试比较h（e）与

7

8

的大小．

Answer 1

分析：（1）求出函数的反函数，利用直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（2）利用导数求函数的最值，利用最值讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；

解答：解：（1）函数f（x）的反函数为g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
设切点为P（x₀，y₀），则k=

1

x0

，切线方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
则-1+lnx₀=1，
所以x₀=e^x，即k=

1

e2

．
（Ⅱ）设h(x)=

ex

x2

(x＞0)，则h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h′（x）＞0，得x＞2，
由h′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，则h（x）→+∞；x→+∞，则h（x）→+∞．
所以当0＜m＜

e2

4

时，没有交点；
当m=

e2

4

时，有1个公共点；
当m＞

e2

4

时，2个交点；
（3）令F（x）=x²h（x），则F′（x）=x²h′（x）+2xh（x）=

ex

x

所以h（x）=

F(x)

x2

，故h′（x）=

F′(x)x2-2xF(x)

x4

=

ex-2F(x)

x3

令G（x）=e^x-2F（x），则G′（x）=e^x-2F′（x）=e^x-2•

ex

x

=

ex(x-2)

x

显然，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；
当x＞2时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；
所以，在（0，+∞）范围内，G（x）在x=2处取得最小值G（2）=0．
即x＞0时，e^x-2F（x）≥0．
故在（0，+∞）内，h′（x）≥0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，
又因为h（2）=

f(2)

8

=

e2

8

＞

7

8

，h（2）＜h（e）
所以h（e）＞

7

8

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，主要是求单调区间问题，属于难题．