Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由条件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=

π

3

，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积

1

2

bc•sinA 的值．

解答： 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为

1

2

bc•sinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
故答案为：

3

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．