Question

若函数f（x），g（x）满足

∫

1 -1

f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sin

1

2

x，g（x）=cos

1

2

x；
②f（x）=x+1，g（x）=x-1；
③f（x）=x，g（x）=x²，
其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：微积分基本定理

专题：综合题,导数的综合应用

分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．

解答： 解：对于①：

∫

1 -1

[sin

1

2

x•cos

1

2

x]dx=

∫

1 -1

（

1

2

sinx）dx=-

1

2

cosx

|

1 -1

=0，∴f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数；
对于②：

∫

1 -1

（x+1）（x-1）dx=

∫

1 -1

（x²-1）dx=（

1

3

x3-x）

|

1 -1

≠0，∴f（x），g（x）不是区间[-1，1]上的一组正交函数；
对于③：

∫

1 -1

x³dx=（

1

4

x4）

|

1 -1

=0，∴f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，
∴正交函数有2组，
故选：C．

点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．