Question

【题目】对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.

（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①证明：为奇数；

②求集合中元素个数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7

【解析】

（1）根据定义直接判断即可得到结论；

（2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；

（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.

（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；

（2）不妨设，

若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；

若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.

由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；

由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.

因此当时，集合一定不是“可分集合”；

（3）①设集合所有元素之和为.

由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.

如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.

如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.

综上所述，集合中元素个数为奇数.

②当时，显然任意集合不是“可分集合”.

当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”.

当时，集合，因为：

3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，

1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，

则集合是“可分集合”.

所以集合中元素个数的最小值是7.