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已知圆心为C的圆经过点A(-1,1)和B(-2,-2),且圆心在直线l:x+y-1=0上
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线kx-y+5=0被圆C截得的弦长为8,求k的取值.
分析:(1)由圆C经过A和B,线段AB为圆C的弦,由A和B的坐标求出直线AB的斜率,利用线段中点坐标公式求出AB的中点坐标,利用两直线垂直时斜率的乘积为-1得出线段AB垂直平分线的斜率,表示出垂直平分线的方程,与直线l联立组成方程组,求出方程组的解得到交点坐标,即为圆心C的坐标,利用两点间的距离公式求出|AC|,即为圆C的半径,写出圆C的标准方程即可;
(2)由圆的半径,弦长,利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d的值,再由圆心C坐标和直线kx-y+5=0,利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.
解答:解:(1)∵点A(-1,1)和B(-2,-2),
∴k直线AB=
-2-1
-2+1
=3,线段AB的中点坐标为(-
3
2
,-
1
2
),
∴线段AB垂直平分线方程为y+
1
2
=-
1
3
(x+
3
2
),即x+3y+3=0,
与直线l联立得:
x+y-1=0
x+3y+3=0

解得:
x=3
y=-2

∴圆心C坐标为(3,-2),
∴半径|AC|=
(-1-3)2+(1+2)2
=5,
则圆C方程为(x-3)2+(y+2)2=25;
(2)∵圆C半径为5,弦长为8,
∴圆心到直线kx-y+5=0的距离d=
52-42
=3,即
|3k+7|
k2+1
=3,
解得:k=-
20
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点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:两直线垂直时斜率满足的关系,线段中点坐标公式,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,点到直线的距离公式,垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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