Question

在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，1），B点与A点关于坐标原点对称，过动点P作x轴的垂线，垂足为C点，而点D满足2

PD

=

PC

，且有

PA

•

PB

=2，
（1）求点D的轨迹方程；
（2）求△ABD面积的最大值；
（3）斜率为k的直线l被（1）中轨迹所截弦的中点为M，若∠AMB为直角，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据

PA

•

PB

=2，求得P（x'，y'）满足的方程：（x'）²+（y'）²=4…（*）．再由2

PD

=

PC

，可得x'=2x-1，y'=2y，代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4，化简即得点D的轨迹方程．
（2）根据D点满足的方程，设D（

1

2

+cosα，sinα），用点到直线的距离公式求得D到AB距离的最大值为1+

2

2

，由此即可得到△ABD面积的最大值；
（3）∠AMB为直角，则点M在以AB为直径的圆上，从而得到满足条件的M在位于圆N：（x-

1

2

）²+y²=1在x²+y²=2内的劣弧上，求出界点处的切线斜率，再观察直线l的斜率的变化，可得斜率k的取值范围．

解答：解：（1）设P（x'，y'），得

PA

=（1-x'，1-y'），

PB

=（-1-x'，-1-y'），
所以

PA

•

PB

=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）²+（y'）²-2
∵

PA

•

PB

=2，
∴点P的轨迹方程为（x'）²+（y'）²-2=2，即（x'）²+（y'）²=4…（*）
再设D（x'，y'），由2

PD

=

PC

得D为PC的中点
∴x=

1

2

(x′+1)，y'=

1

2

y′．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4
化简得点D的轨迹方程：（x-

1

2

）²+y²=1
（2）设点D坐标为（

1

2

+cosα，sinα），
求得直线AB的方程为x-y=0，得D到直线AB的距离为
d=

| 1 2 +cosα-sinα|

2

=

| 1 2 + 2 cos(α+ π 4 )|

2

当α=

7π

4

时，d的最大值为1+

2

2

，
因此△ABD面积的最大值为

1

2

×AB×（1+

2

2

）=1+

2

；
（3）若∠AMB为直角，则点M在以AB为直径的圆上
求得以AB为直径的圆方程为x²+y²=2，该圆与D的轨迹交于点M₁（

5

4

，

7

4

）和M₂（

5

4

，-

7

4

）
满足条件的点M位于圆N：（x-

1

2

）²+y²=1在x²+y²=2内的劣弧上
∵KNM1=

7 4 -0

5 4 - 1 2

=

7

3

，得此时切线l的斜率k₁=

1

KNM1

=-

3 7

7

KNM2=

- 7 4 -0

5 4 - 1 2

=-

7

3

，得此时切线l的斜率k₂=

1

KNM2

=

3 7

7

∴运动点M，观察斜率变化，可得直线l的斜率为k∈（-∞，-

3 7

7

）∪（

3 7

7

，+∞）

点评：本题以向量运算为载体，求动点的轨迹方程并求动直线斜率k的取值范围，着重考查了向量的数量积、直线与圆的位置关系和动点轨迹方程求法等知识，属于难题．