Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+3cosω\\ y=2+3sinω\end{array}\right.$（ω为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$（a∈R）．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁上有3个点到曲线C₂的距离等于1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）：首先由$\left\{\begin{array}{l}x=1+3cosω\\ y=2+3sinω\end{array}\right.$消去参数得普通方程，进一步把极坐标方程$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，转化为普通方程．
（2）根据（1）得到的方程，利用直线和圆的位置关系，再判断如何利用点到直线的距离公式求出圆心只有到直线的距离只有等于2的情况下才符合题意．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+3cosω\\ y=2+3sinω\end{array}\right.$消去参数ω，得（x-1）²+（y-2）²=9，
所以曲线C₁的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=9．
由$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，得ρcosθ+ρsinθ=a，即x+y-a=0，
所以曲线C₂的直角坐标方程x+y-a=0．
（2）曲线C₁是以（1，2）为圆心，以r=3为半径的圆，曲线C₂是直线x+y-a=0．
由圆C₁上有3个点到直线C₂的距离等于1，
得圆心C₁（1，2）到直线C₂：x+y-a=0的距离等于2．
即$\frac{|1+2-a|}{{\sqrt{2}}}=2$，解得$a=3±2\sqrt{2}$，
即a的值为$3+2\sqrt{2}$或$3-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题型．