已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,3an+1+4Sn=3(n为正整数).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记S=a1+a2+…+an+…,若对任意正整数n,kS<Sn恒成立,求k的取值范围?
(3)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a>0},若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Tn,问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*,均有Tn∈A.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】
分析:(1)3a
n+1+4s
n=3,3a
n+4s
n-1=3,两式相减,得3a
n+1-3a
n+4(S
n-S
n-1)=0,由此能求出数列{a
n}是等比数列,即可求出数列{a
n}的通项公式.
(2)将k进行分离,然后讨论n的奇偶,根据数列的单调性可求函数的最值,由此能求出k的最大值.
(3)讨论a与1的大小,求出集合A,当a≥1时,T
2=a+a
2,T
2∈A,可求出a,当0<a<1时求出T
n的范围,对任意的n∈N
*,要使T
n∈A,建立关于a的不等关系,解之即可.
解答:解:(1)由题意知,当n≥2时,
两式相减变形得:
又n=1时,
,于是
…(1分)
故 {a
n}是以a
1=1为首项,公比
的等比数列∴
…(4分)
(2)由
得
=f(n)…(5分)
当n是偶数时,f(n)是n的增函数,于是
,故
…(7分)
当n是奇数时,f(n)是n的减函数,因为
,故k≤1.…(9分)
综上所述,k的取值范围是
…(10分)
(3)①当a≥1时,A={x|1≤x≤a},T
2=a+a
2,若T
2∈A,则1≤a+a
2≤a.得
此不等式组的解集为空集.
即当a≥1时,不存在满足条件的实数a.…(13分)
②当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}.
而
是关于n的增函数.
且
.…(15分)
因此对任意的n∈N
*,要使T
n∈A,只需
解得
.…(18分)
点评:本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式和数列的综合应用,属于中档题.