Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，则集合{x|f（x）=f（36）}中的最小元素是

12

．

Answer 1

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出极值点坐标，所以f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，由此可得结论．

解答：解：当2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）时，

x

2n-2

∈[2，4]
∵函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2时，f（x）=2^n-1×f（

x

2n-2

）=2^n-1×[1-|

x

2n-2

-3|]
由函数解析式知，当

x

2n-2

-3=0时，函数取得极大值2^n-1，
∴极大值点坐标为（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，
∵f(36)=2f(18)=4f(9)=8f(

9

2

)=16f(

9

4

)=16×

1

4

=4，
∴f（x）=4时x的最小值是12；
故答案为：12

点评：本题考查的知识点是函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出函数的极值点坐标，是解答本题的关键．