Question

8．若n为正整数，试比较3•2^n-1与n²+3的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．

解答 （理科）解：当n=1时，3•2^n-1＜n²+3；
当n=2时，3•2^n-1＜n²+3；
当n=3时，3•2^n-1=n²+3；
当n=4时，3•2^n-1＞n²+3；
当n=5时，3•2^n-1＞n²+3；…5'
猜想：当n≥4时，3•2^n-1＞n²+3…7'
证明：当n=4时，3•2^n-1＞n²+3成立；
假设当n=k（k≥4）时，3•2^k-1＞k²+3成立，
则n=k+1时，左式=3•2^k=2•3•2^k-1＞2（k²+3），右式=（k+1）²+3，
因为2（k²+3）-[（k+1）²+3]=k²-2k+2=（k-1）²+1＞0，
所以，左式＞右式，即当n=k+1时，不等式也成立．
综上所述：当n≥4时，3•2^n-1＞n²+3…14'

点评 本题库存数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力．