Question

20．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，M，N分别为边BC，CD的中点．

（1）用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{MN}$；
（2）求$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的值．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}-（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}}）$，利用中点性质得到所求；
（2）首先将$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$分别用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示，然后进行数量积的运算．

解答 解：（1）由题，在△AMN中，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}-（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}}）$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-（{\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$…（7分）
（2）在△ABM，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$…（9分）
同理，在△ADN，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$…（11分）
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}}）（{\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}）$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}^2}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}^2}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}×4+\frac{1}{2}×4+\frac{5}{4}×2×2×\frac{1}{2}=\frac{13}{2}$…（14分）

点评 本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量数量积的运算；属于基础题．