Question

1．直线l倾角为30°，且过点A（0，1），若直线l与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的交点为A，B，则|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，代入抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求值．

解答 解：设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
代入抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，可得
x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，x₁x₂=-4，
则弦长|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{16}{3}+16}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查抛物线的弦长的求法，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．