【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC.
(2)证明:在正△ABC中,BM=6,
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD,
∠ADC=120°,∴DM=2,
∴ = ,
在Rt△PAB中,PA=4,AB=4 ,PB=8.
∴ = = ,∴MN∥PD,
又MN平面PDC,PD平面平面PDC,
∴MN∥平面PDC.
(3)解:∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
∴B(4 ,0,0),C(2 ,6,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
=(2 ,6,﹣4), =(4 ,0,﹣4),
由(2)知 =(4 ,﹣4,0)是平面PAC的法向量,
设平面PBC的一个法向量为 =(x,y,z),
则 ,即 ,取z=3,得 =( ),
设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ,
则cosθ= = = ,
∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)推导出BD⊥AC,PA⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC.(2)推导出DM⊥AC,AD=CD,DM=2, = ,从而MN∥PD,由此能证明MN∥平面PDC.(3)以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣x+ +1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性与极值点的个数;
(2)当a=0时,关于x的方程f(x)=m(m∈R)有2个不同的实数根x1 , x2 , 证明:x1+x2>2.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=n2+2n;数列{bn}是公比大于1的等比数列,且满足b1+b4=9,b2b3=8.
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=(﹣1)nSn+anbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆的右焦点为,点分别是椭圆的上、下顶点,点是直线上的一个动点(与轴的交点除外),直线交椭圆于另一个点.
(1)当直线经过椭圆的右焦点时,求的面积;
(2)①记直线的斜率分别为,求证:为定值;
②求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率 恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R
(1)证明:函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R的图象恒经过一个定点;
(2)若函数h(x)= f′(x)在(0,+∞)有定义,且不等式h(x)≤0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R
(1)证明:函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R的图象恒经过一个定点;
(2)若函数h(x)= f′(x)在(0,+∞)有定义,且不等式h(x)≤0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出如下四个命题: ①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;
②命题“若,则 ”的否命题为“若,则”;
③命题“ ”的否定是“”;
④“ ”是“ ”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com