【题目】已知函数f(x)=lnx﹣x+ +1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性与极值点的个数;
(2)当a=0时,关于x的方程f(x)=m(m∈R)有2个不同的实数根x1 , x2 , 证明:x1+x2>2.
【答案】
(1)解:解:f′(x)= ﹣1﹣ = ,x>0
方程﹣x2+x﹣a=0的判别式为△=1﹣4a,
①当a≥ 时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞),为减函数,无极值点,
②当0≤a< 时,令f′(x)=0,解得x1= >0,x2= ,
当f′(x)<0,解得0<x< ,x> ,
此时f(x)在(0, ),( ,+∞)为减函数,
当f′(x)>0时,解得 <x< ,
此时f(x)在( , )为增函数,
此时f(x)有一个极大值点x= ,和一个极小值点x= ,
③当a<0,令f′(x)=0,解得x1= <0,x2= >0,
当f′(x)>0,解得0<x< ,此时f(x)在(0, ),为增函数,
当f′(x)<0时,解得x> ,此时在( ,+∞)为减函数,
此时f(x)有一个极大值点x=
(2)由题意知f(x1)=m,f(x2)=m,
故f(x1)=f(x2),
∵x1≠x2,不妨设x1<x2,
∴lnx1﹣x1+1=lnx2﹣x2+1,
∴ln =x2﹣x1,
令 =t,则x2=tx1,
∴lnt=(t﹣1)x1,
∴x1= ,x2=tx1= ,
故要证x1+x2= lnt>2,t>1,
即证(t+1)lnt>2(t﹣1),
令g(t)=(t+1)lnt﹣2t+2,
∴g′(t)= +lnt﹣2= ,
令h(t)=tlnt﹣t+1,t>1,
则h′(t)=lnt>0,
∴h(t)在t∈(1,+∞)上为增函数,
∴h(t)>h(1)=0,
∴g(t)在(1,+∞)为增函数,
∴g(t)>g(1)=0,
∴(t+1)lnt>2(t﹣1),
即 lnt>2,
∴x1+x2>2
【解析】(1)先求出导函数,再根据判别式和a的范围分类讨论,即可判断函数的单调性和极值点的个数,(2)问题转化为要证x1+x2= lnt>2,t>1,即证(t+1)lnt>2(t﹣1),构造函数,根据导数和函数的单调性和最值得关系即可证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】已知命题 方程 有两个不相等的负实根,
命题 不等式 的解集为 ,
(1)若为真命题,求 的取值范围.
(2)若 为真命题, 为假命题,求 的取值范围.
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【题目】图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间 上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变
B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变
D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】对于函数f(x)给出定义:
设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0 , 则称点(x0 , f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.
某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数 ,请你根据上面探究结果,计算
= .
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则 的最大值为( )
A.3
B.2
C.6
D.9
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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