Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为2，M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求证在棱CC₁上找一点N使得MN⊥AB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角M-AB₁-N的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考查线面平行，常用线面平行的判定定理来证明．
（Ⅱ）属于开放性命题，考查线线垂直，可以用立体几何中的向量法发来解决：
建立空间直角坐标系求出

MN

，

AB1

的坐标表示，让它们的数量积为零即可；
（Ⅲ）要求空间角，我们用立体几何中的向量方法会更简单．要先找出二面的法向量，二面角的余弦值即是它们法向量夹角的余弦值．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接A₁B，交AB₁于P，则PM∥A₁C，又PM?面AB₁M，A₁C?面AB₁M，
∴A₁C∥面AB₁M．（4分）
（Ⅱ）解：取B₁C₁中点H，连接MH，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

MB

、

MA

、

MH

两两垂直，故分别以

MB

、

MA

、

MH

为x、y、z轴，建立如图空间坐标系．设CN=2（0＜a＜2），则A（0，

3

，0），B₁（1，0，2），M（0，0，0），N（-1，0，a），∴

AB1

=(1，-

3

，2)，

MN

=(-1，0，a)．
由

AB1

•

MN

=(1，-

3

，2)•(-1，0，a)=0，有-1+2a=0，解得a=

1

2

，故在棱CC₁上的点N满足CN=

1

2

，使MN⊥AB₁．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），

MA

=(0，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

1

2

)，则

MA

•

MN

=0，

MN

⊥

MA

，
又

MN

⊥

AB1

'则面AB₁M一个法向量

n1

=

MN

=(-1，0，

1

2

)．
设面AB₁N的一个法向量

n2

=(x，y，z)，

AB1

=(1，-

3

，2)，

AN

=(-1，-

3

，

1

2

)
由

AB1 • n1 =0 AN • n2 =0

即

x- 3 y+2z=0 -x- 3 y+ 1 2 z=0

，取

n2

=(-

9

5

，

3

，

12

5

)（12分）
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

9 5 + 6 5

1+ 1 4 81 25 +3+ 144 25

=

15

5

故二面角M-AB₁-N的余弦值为

15

5

．（14分）

点评：本题是考查立体几何的题目，其中以线面平行 线面垂直常考，处理方法 常用线面平行或垂直的判定定理来证明；至于空间角的问题，我们用立体几何中的向量方法会更简单．此类题是高考必考题，一般为第19题，要重点掌握．