该题考查函数的求导,以及利用函数的导数判断函数的单调性进而求出函数的最值,还考查了三角函数的公式的利用,以及恒成立问题.
(1)利用三角函数转换公式化简f(x),在用配方法得出函数的最简式,即可得出函数g(x)的表达式
(2)求出g(x)的导数,画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值,g(t)≤
成立,即
≥g(t)的最大值,求出a的范围.
解析:(1)
.
由(sinx-t)
2≥0,|t|≤1,故当sinx=t时,f(x)有最小值g(t),即g(t)=4t
3-3t+3.
(2)我们有
.
列表如下:
t
| (-1,-)
| -
| (-, )
|
| (,1)
|
g'(t)
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
G(t)
| ↗
| 极大值g(-)
| ↘
| 极小值g()
| ↗
|
由此可见,g(t)在区间(-1,-
)和(
,1)单调增加,在区间(-
,
)单调减小,极小值为g(
)
=2,又g(-1)=-4-(-3)+3=2 故g(t)在[-1,1]上的最小值为2
注意到:对任意的实数a,
=
∈[-2,2]当且仅当a=1时,
=2,对应的t=-1
或
,故当t=-1或
时,这样的a存在,且a=1,使得g(t)≥
成立.
而当t∈(-1,1]且t≠
时,这样的a不存在.