Question

19．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥面ABCD，OA=4，E点为OA的中点，F为BC中点，
（1）求证：直线EF∥面OCD
（2）求证：面AEF⊥面OBC
（3）求四棱锥O-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点G，连结EG、FG，推导出平面EFG∥平面OCD，由此能证明直线EF∥面OCD．
（2）推导出AF⊥BC，BC⊥OA，从而BC⊥面AEF，由此能证明面AEF⊥面OBC．
（3）四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×OA×{S}_{菱形ABCD}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取AD的中点G，连结EG、FG，
∵E点为OA的中点，F为BC中点，
∴FG∥CD，EG∥OD，
∵FG∩EG=G，CD∩OD=D，FG、EG?平面EFG，CD、OD?平面OCD，
∴平面EFG∥平面OCD，
∵EF?平面EFG，∴直线EF∥面OCD．
（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，F为BC中点，
∴AF⊥BC，
∵OA⊥面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥OA，
∵AF∩OA=A，∴BC⊥面AEF，
∵BC?面OBC，∴面AEF⊥面OBC．
解：（3）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥面ABCD，OA=4，
∴S_菱形ABCD=2×（$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$）=2$\sqrt{3}$，
故四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×OA×{S}_{菱形ABCD}$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．