Question

在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且a_n+1•a_n=n²+3n+2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2对n∈N^*恒成立．由此能求出p的值为2．
（2）由已知得

an+2

an

=

n+3

n+1

．由此利用分类讨论思想能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由题意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2对n∈N^*恒成立．
即d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2．
所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，
即

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

，
因为a₁=p＞0，故p的值为2．…（6分）
（2）因为a_n+1•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
所以a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3）．
所以

an+2

an

=

n+3

n+1

．
①当n为奇数，且n≥3时，

a3

a1

=

4

2

=

4

2

，

a   5

a3

=

6

4

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．
相乘得

an

a1

=

n+1

2

，所以a_n=

n+1

2

p．当n=1时也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，

a4

a2

=

5

3

，

a6

a4

=

7

5

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．
相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以a_n=

n+1

3

a₂．
因为a₁•a₂=6，所以a₂=

6

p

．
所以a_n=

2(n+1)

p

，当n=2时也符合．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1 2 p，(n为奇数) 2(n+1) p ，(n为偶数

．…（12分）

点评：本题考查实数值的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列性质的合理运用．