Question

已知直线l：x-2y+8=0和两点A（2，0），B（-2，-4），若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：先判断A、B与直线l：x+2y-2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y-2，看符号相同在同侧，相反异侧．使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．

解答： 解：可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A₁的坐标为（x₁，y₁）．
则有

x1+2

2

-2•

y1

2

+8=0，

y1

x1-2

•

1

2

=-1．
解得：x₁=-2，y₁=8．
直线A₁B的方程为x=-2，直线A₁B与l的交点可求得为P（-2，3）．
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．
故答案为：（-2，3）．

点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．