Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

5

2

，求此时a的值．
（Ⅳ）当x∈[-2，-1]时函数f （x ）的最大值为

5

2

，求此时a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称则只须证明函数f （ x ）是偶函数；
（Ⅱ）对底数分类讨论，利用单调性的证题步骤加以证明；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，函数f （x ）为增函数，利用函数f （x ）的最大值为

5

2

，建立方程，可求a的值；
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）证知f（x） 是偶函数且在（0，+∞）上为增函数，则知f（x）在（-∞，0）上为减函数；
则当x∈[-2，-1]时，函数f （x ）为减函数，利用函数f （x ）的最大值为

5

2

，建立方程，可求a的值．

解答：（Ⅰ）证明：∵x∈R，f（-x）=a^-x+a^x=a^x+a^-x=f（x）…（3分）
∴函数f （ x ）是偶函数，∴函数f （ x ）的图象关于y轴对称…（4分）
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
（1）当a＞1时，
由0＜x₁＜x₂，则x₁+x₂＞0，则ax1＞0、ax2＞0、ax1＜ax2、ax1+x2＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
（2）当0＜a＜1时，
由0＜x₁＜x₂，则x₁+x₂＞0，则ax1＞0、ax2＞0、ax1＞ax2、0＜ax1+x2＜1；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）；
所以，对于任意a（a＞0且a≠1），f（x）在（0，+∞）上都为增函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上为增函数，则当x∈[1，2]时，函数f （x ）亦为增函数；
由于函数f（x）的最大值为

5

2

，则f（2）=

5

2

即a2+

1

a2

=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2

（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）证知f（x） 是偶函数且在（0，+∞）上为增函数，则知f（x）在（-∞，0）上为减函数；
则当x∈[-2，-1]时，函数f （x ）为减函数
由于函数f（x）的最大值为

5

2

，则f（-2）=

5

2

即

1

a2

+a2=

5

2

，解得a=

2

，或a=

2

2

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是灵活运用函数的单调性与奇偶性，属于中档题．