Question

15．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，过F₂作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF₁的重心，且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），
令x=c代入双曲线的方程，可得y²=b²•（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由重心坐标公式可得x_G=$\frac{-c+c+c}{3}$=$\frac{1}{3}$c；
y_G=0，
即G（$\frac{1}{3}$c，0），$\overrightarrow{GA}$=（$\frac{2}{3}$c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=$\frac{2}{3}$c•2c+（-$\frac{{b}^{2}}{a}$）•（$\frac{{b}^{2}}{a}$）=0，
即4a²c²=3b⁴，
即为2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²-2e-$\sqrt{3}$=0，
解得e=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．