Question

4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，a²+c²-b²=ac．
（1）求角B的大小；
（2）若$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，c=\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值可求B的值．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵a²+c²-b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
又∵B是三角形的内角，
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，A＜B＜C$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$sinC=sin（{A+B}）=sin（{A+\frac{π}{3}}）=sinAcos\frac{π}{3}+cosAsin\frac{π}{3}=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$，
∵$c=\sqrt{3}，\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴$a=\frac{2}{5}（{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}）$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{10}（{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}）$．

点评 本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．