Question

9．设P是圆x²+y²=4上任意一点，由点P向x轴做垂线PP₀，垂足为P₀，且$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=x+1与（1）中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0），由$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$可得点M与点P坐标间的关系式，再根据点P在圆上代入P点坐标即可得到M坐标方程，即所求轨迹方程；
（2）直线l：y=x+1与（1）中的轨迹C联立可得7x²+8x-8=0，利用韦达定理，即可求弦长|AB|的值．

解答 解：（1）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0）．
由$\overrightarrow{M{P}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{P{P}_{0}}$得（x₀-x，-y）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（0，-y₀）．
所以x₀-x=0，-y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y₀．
于是x₀=x，y₀=$\frac{2}{\sqrt{3}}$y，
又x₀²+y₀²=4，所以x²+$\frac{4}{3}$y²=4．
所以，点M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）直线l：y=x+1与（1）中的轨迹C联立可得7x²+8x-8=0．
所以x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{24}{7}$

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、直弦长等有关知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强．