Question

【题目】已知图1中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于点N，DN=3 ，MN= ，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为C'、D'且使D'M=2 ，如图2示．
（Ⅰ）证明：D'M⊥平面ABFE；，
（Ⅱ）若图1中，∠A=60°，求点M到平面AED'的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB， ∴DM⊥EF，即D'N⊥EF，MN⊥EF，
又D'N∩MN=N，D′M平面D′MN，D′N平面D′MN，
∴EF⊥平面MND'，又∵D′M平面D′MN，
∴EF⊥D'M，
∵D′M=2 ，D′N=3 ，MN= ，
∴D'M2+MN2=D'N2 ， ∴D'M⊥MN，
又MN∩EF=N，MN平面ABFE，EF平面ABFE，
∴D'M⊥平面ABFE．
（Ⅱ） 在Rt△ADM中，∵∠A=60°，DN=4 ，
∴AM=4，A=8，
∵EF∥AB，∴ ，
∴DE=6，AE=2，
∴VD′﹣AEM= = =4 ，
在Rt△AD′M中，AD′= =2 ，
∴D′E2+AE2=AD′2 ，
∴D'E⊥AE， ，
设点M到平面AED'的距离为h，
则VM﹣AED′= S△AED′h=2h，
∴2h=4 ，解得 ，
∴点M到平面AED'的距离为 ．

【解析】（I）由EF⊥平面D′MN得D′M⊥EF，由勾股定理的逆定理得D′M⊥MN，从而D′M⊥平面ABFE；（II）根据三角形和相似三角形知识求出各棱长，根据VD′﹣AEM=VM﹣AED′列方程解出M到平面AED'的距离．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．