Question

若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：讨论A为顶角，根据对称性，椭圆上存在一点A是短轴的一个端点，根据椭圆的对称性可知|AF₁|=|AF₂|，根据△F₁AF₂是等腰三角形可推断出短轴平分∠F₁AF₂，进而求得顶角的半角，进而根据sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O为原点），求得椭圆的离心率，再由当F₁为顶角时，根据椭圆的定义，结合解三角形的知识，即可得到离心率．

解答： 解：∵椭圆上存在一点A与椭圆的两个焦点F₁，F₂构成顶角为120°的等腰三角形，
当A为顶角时，则由椭圆的对称性，可得A是短轴的一个端点，
∴|AF₁|=|AF₂|
又△F₁AF₂是等腰三角形，
∴短轴平分∠F₁AF₂
∴顶角的一半是

120°

2

=60°
∴sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O为原点）
∴e=

c

a

=

3

2

．
当F₁为顶角时，AF₁=F₁F₂=2c，AF₂=2•2csin60°=2

3

c，
由椭圆的定义可得AF₁+AF₂=2a，即为（

3

+1）c=a，
则e=

1

3 +1

=

3 -1

2

．
故答案为：

3

2

或

3 -1

2

．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，主要考查了椭圆的简单性质：离心率的求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．