Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）点E在棱PA上，且

PE

=λ

EA

，当λ为何值时，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的条件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，根据条件求出

CD

和

PD

，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角；
（2）要使PC∥平面EBD，只需

PC

垂直于面BDE的一个法向量，利用向量法可求；
（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解析：由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB，PB⊥BC，以

BC

，

BA

，

BP

分别为x，y，
z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，则B（0，0，0），A（2，0，0），D（2，2，0），
由PB⊥底面ABCD，PB⊥CD，CD⊥PD，PD∩PB=P，CD⊥面PBD，CD⊥BD，所以△CDB为等腰直角三角形，故DB=2

2

，CB=

2

BD=4，
∴C（0，4，0），P（0，0，2），（3分）
（1），

PA

=(2，0，-2)，

CD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

1

2

，故异面直线PA与CD所成的角为60°；                                                                    （7分）
（2）

PE

=λ

EA

，∴

BE

-

BP

=λ(

BA

-

BE

)，∴

BE

=

λ

1+λ

BA

+

1

1+λ

BP

，

BA

=(0，2，0)，

BP

=(0，0，2)，

BE

=(0，

2λ

1+λ

，

2

1+λ

)，

PC

=(4，0，-2)，
设面BDE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

n • BE =0 n • BD =0

∴

2λy 1+λ + 2z 1+λ =0 2x+2y=0

∴

x=-y z=-λy

，
令y=1，

n

=(-1，1，-λ)，
要使PC∥平面EBD，则必须有

PC

⊥

n

，∴-4+2λ=0，λ=2，所以当λ=2时PC∥平面EBD．     （11分）
（3）

BC

⊥面ABE，

n

=(-1，1，-2)，

BC

=(4，0，0)，cos＜

BC

，

n

＞=-

6

6

，
∴二面角A-BE-D的平面角的余弦值为

6

6

．                                        （15分）

点评：本题以四棱锥为载体，主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．