Question

已知二面角α-l-β的大小为60°，若平面α内一点A到平面β的距离为10，则A在平面β内的射影A'到平面α的距离为

5

．

Answer 1

分析：设AA′⊥β，A′O⊥α，连接AO并延长交l于H，连接A′H．，∠AHA′为二面角α-l-β的平面角，在直角三角形AA′H中，求出 A′H，在直角三角形 A′OH中，A′O即为所求的距离．

解答：解：如图AA′⊥β，A′O⊥α，连接AO并延长交l于H，连接A′H．

l⊥AA′ l⊥A′O

⇒l⊥面AA′H，∴l⊥AH，l⊥A′H∴∠AHA′为二面角α-l-β的平面角，∴∠AHA′=60°，
在直角三角形AA′H中，A′H=AA′cot∠AHA′=10×

3

3

=

10 3

3

在直角三角形 A′OH中，A′O=A′Hsin∠A′HO=

10 3

3

×

3

2

=5，
故答案为：5

点评：本题考查点面距离，二面角大小度量，解直角三角形．考查化归与转化（空间角转化为平面角，空间距离转化为三角形边）的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．