Question

对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：
（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；
（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左侧附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极大值点；
（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：
（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值；
（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左侧附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，还必须要求在x₀右侧附近f′（x）＞0则x₀是f（x）的极大值点；
（4）利用闭区间上的导数与函数的单调性的关系即可得出．

解答： 解：对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：
（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值，因此不正确；
（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能，因此不正确；
（3）若x₀∈（a，b），在x₀左侧附近f′（x）＜0，且f′（x₀）=0，还必须要求在x₀右侧附近f′（x）＞0则x₀是f（x）的极大值点，因此不正确；
（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，正确．
综上可得：只有（4）正确．
故答案为：（4）．

点评：本题考查了闭区间上的导数与函数的单调性的关系极值与最值的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．