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    【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

    （2）直线与曲线交于两点，记弦的中点为，点，求.

    【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）

    【解析】

    (1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化，可直接写出曲线的直角坐标方程；由直线的参数方程消去参数，即可得到直线的普通方程；

    (2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，以及弦长公式即可求解.

    （1）由，，

    从而有，即

    直线的普通方程为

    （2）易知点在直线上，

    则直线的参数方程为（为参数），

    将其代入曲线的直角坐标方程可得，所以

    所以

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    （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

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    附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

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    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

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    【题目】如图，矩形为一张台球桌面，，.从点击出一个球，其可无限次经台球桌四边反弹运行.已知该球经过矩形的中心.

    （1）试求所有整点 的个数，使得该球可以经过点；

    （2）若该球在上述、两点间的最短路径长为，求的最大值.

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    【题目】已知.在单位圆上有两个定点、，，是上一动点，在直线上存在一点，满足（为边的中点）.试求的最大值.

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    【题目】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：

    (Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；

    (Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.

    附：.若随机变量服从正态分布，则，.

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点、分别为和中点.

    （1）求证：直线平面；

    （2）求与平面所成角的正弦值.

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