Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先利用离心率得出再根据得出，由，向量数量积坐标化即可；

（2）直线斜率不存在和斜率为0时得出定值，斜率存在时设出直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式求出再利用垂直得出点P坐标，以此求出的数值.最后求得和为定值.

（Ⅱ）设，，

因为椭圆的离心率为，所以，即，因为，所以．

因为，所以，，

又，所以，即，解得（负值舍去），

所以，，故椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，，

此时；

当直线的斜率为时，，，此时；

当直线的斜率存在且不为时，

设直线的方程为，，．

将代入，消去可得，

则，，

所以，

因为，所以直线的方程为，

设，因为点在椭圆上，所以由可得，

所以，

所以．

综上，为定值，该定值为．