Question

【题目】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，设切线的斜率都存在.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线恒过定点.

【解析（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为，

因为，不妨设点，代入椭圆方程得，，

又因为， 所以，，所以，，

所以的方程为.

（Ⅱ）依题设，得直线的方程为，即，

设，

由切线的斜率存在，设其方程为，

联立得，，

由相切得，

化简得，即，

因为方程只有一解，所以， 所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，

又因为两切线都经过点，所以， 所以直线的方程为，又， 所以直线的方程可化为，

即， 令得，

所以直线恒过定点.

【解析】

（Ⅰ）由已知条件布列关于a，b的方程，即可得到的方程；（Ⅱ）由题意得到两切线MA，MB的方程，利用M点在切线MA，MB上，得到为AB的直线方程，从而问题解决．

（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为，

因为，不妨设点，代入椭圆方程得，，

又因为， 所以，，所以，，

所以的方程为.

（Ⅱ）依题设，得直线的方程为，即，

设，

由切线的斜率存在，设其方程为，

联立得，，

由相切得，

化简得，即，

因为方程只有一解，所以， 所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，

又因为两切线都经过点，所以， 所以直线的方程为，又， 所以直线的方程可化为，

即， 令得，

所以直线恒过定点.