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已知抛物线y2=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|+|BF|=8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)
①求抛物线方程;
②求△ABS面积的最大值.
①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0
当直线的斜率存在时,设斜率为k,则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8,∴x0=4-
p
2

y21
=2px1
y22
=2px2
y21
-
y22
=2p(x1-x2)
,∴y0=
p
k

所以M(4-
p
2
p
k
)

依题意
p
k
4-
p
2
-6
•k=-1
,∴p=4
∴抛物线方程为y2=8x----(6分)
当直线的斜率不存在时,2p=8,也满足上式,∴抛物线方程为y2=8x
②当直线的斜率存在时,由M(2,y0)及kl=
4
y0
lAB:y-y0=
4
y0
(x-2)

令y=0,得xK=2-
1
4
y20

又由y2=8x和lAB:y-y0=
4
y0
(x-2)
得:y2-2y0y+2
y20
-16=0

S△ABS=
2
8
(16+y02)2(32-2y02)
2
8
(
64
3
)3
=
64
6
9
----(12分)
当直线的斜率不存在时,AB的方程为x=2,|AB|=8,△ABS面积为
1
2
×8×4=16

64
6
9
>16
,∴△ABS面积的最大值为
64
6
9
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A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=
3
x

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3
2
2
,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.

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已知以向量
v
=(1,
1
2
)
为方向向量的直线l过点(0,
5
4
)
,抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若
OA
OB
+p2=0
(O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.

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