Question

10．已知函数f（x）=x²-2|x-a|．
（1）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x）=f（x）恒成立，求得a的值．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，结合它的图象得到函数的单调增区间．
（3）不等式即4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1 （※），分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．

解答 解：（1）任取∈R，则有f（-x）=f（x）恒成立，即x²-2|-x-a|=x²-2|x-a|恒成立，
∴|x+a|=|x-a|恒成立，∴平方得2ax=-2ax恒成立，∴a=0．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
由函数的图象可知，函数的单调递增区间为（-1，$\frac{1}{2}$]、[1，+∞）．
（3）不等式式f（x-1）≤2f（x）化为（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1 （※），
对任意的x∈（0，+∞）恒成立，因为a＞0，所以分如下情况讨论：
①0≤x≤a时，不等式（※）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1恒成立，
即x²+4x+1-2a≥0对x∈[0，a]恒成立，
∵g（x）=x²+4x+1-2a在[0，a]上单调递增，
只需g（x）的最小值g（0）=1-2a≥0，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$．
②当a＜x≤a+1时，不等式（※）化为 4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1恒成立，
即 x²-4x+1+16a≥0对x∈（a，1+a]恒成立恒成立，
由①知0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴h（x）=x²-4x+1+16a在∈（a，1+a]上单调递减，
∴只需h（x）的最小值h（1+a）=a²+4a-2≥0，∴a≤-2-$\sqrt{6}$或a≥$\sqrt{6}$-2，
∵$\sqrt{6}$-2＜$\frac{1}{2}$，∴$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．
③当x＞a+1时，不等式（※）化为 4（x-a）-2[x-（1+a）]≤x²+2x-1恒成立，
即 x²+2a-3≥0 对x∈（a+1，+∞）恒成立．
由于m（x）=x²+2a-3≥0，且m（x）在[a+1，+∞）上单调递增，
∴只需m（x）的最小值m（1+a）=a²+4a-2≥0，∴a≤-2-$\sqrt{6}$或a≥$\sqrt{6}$-2，
由②得：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．
综上所述，a的取值范围是：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的奇偶性、单调性的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．