Question

若a，b，c均为正数，且21ab+2bc+8ca≤12，证明：

1

a

+

2

b

+

3

c

≥

15

2

．

Answer 1

分析：令

1

a

=x，

2

b

=y，

3

c

=z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，可得2xy≥7，z≥

2x+4y

2xy-7

，再结合柯西不等式，即可得证．

解答：证明：令

1

a

=x，

2

b

=y，

3

c

=z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，
∴2xy≥7，z≥

2x+4y

2xy-7

，
∴x+y+x≥x+y

2x+4y

2xy-7

=x+

11

2x

+

2xy-7

2x

+

2(x2+7)

x(2xy-7)

≥x+

11

2x

+2

1+ 7 x2

，
由柯西不等式可得(1+

7

x2

)(9+7)≥(3+

7

x

)2
∴x+y+x≥x+

11

2x

+

1

2

(3+

7

x

)=

3

2

+x+

9

x

≥

15

2

，
即

1

a

+

2

b

+

3

c

≥

15

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查换元法，考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．