Question

在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x²=4y上有两个动点A、B，且满足

AF

=λ

FB

，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．
（1）求：

OA

•

OB

的值；
（2）证明：

FM

•

AB

为定值．

Answer 1

分析：（1）先设出动点A、B的坐标，结合

AF

=λ

FB

，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到

OA

•

OB

的值；
（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入

FM

•

AB

整理即可得到答案．

解答：解：（1）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

) 
∵焦点F（0，1）
∴

AF

=(-x1，1-

x 2 1

4

)，

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1) 
∵

AF

=λ

FB

∴

-x1=λx2 1- x 2 1 4 =λ( x 2 2 4 -1)

消λ得x1(

x 2 2

4

-1)+x2(1-

x 2 1

4

)=0
化简整理得(x1-x2)(

x1x2

4

+1)=0＜BR＞∵x1≠x2，
∴x₁x₂=-4
∴y₁y₂=

x 2 1

4

•

x 2 2

4

=1
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-3（定值）
（2）抛物线方程为y=

1

4

x2∴y′=

1

2

x
∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=

1

2

x1(x-x1)+

x 2 1

4

和y=

1

2

x2(x-x2)+

x 2 2

4

即y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

和y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

联立解出两切线交点M的坐标为(

x1+x2

2

，-1)
∴

FM

•

AB

=(

x1+x2

2

．-2)(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

4

)=

x 2 2 - x 2 1

2

-

x 2 2 - x 2 1

2

=0 （定值）

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算．本题比较麻烦的地方在于整理过程比较烦琐，要认真对待，避免出错．