Question

若函数y=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-1，2]上的最大值为9，最小值为m，且函数g（x）=

1-4m

x

在（0，+∞）上为减函数，则实数a=

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数y=a^x（a＞0，a≠1）在区间[-1，2]上的最大值为9，最小值为m，所以得到

a-1=9 a2=m

，或

a-1=m a2=9

，这样解方程组即得a，m的值，再根据g（x）在（0，+∞）为减函数，便有g′（x）＜0，这样可求出m的范围，根据m的范围即可确定前面求出的m的值．

解答： 解：因为函数y=a^x是单调函数，所以该函数的最值取在端点处；
∴

a-1=9 a2=m

，或

a-1=m a2=9

，解得a=

1

9

，m=

1

81

，或a=3，m=

1

3

；
g′（x）=-

1-4m

x2

，∵g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴1-4m＞0，m＜

1

4

；
∴a=

1

9

．
故答案为：

1

9

．

点评：考查指数函数的单调性，单调函数在闭区间上最值的特点，以及函数单调性和函数导数符号的关系．