Question

20．已知椭圆A，B满足：过椭圆C的右焦点$F（\sqrt{2}，0）$且经过短轴端点的直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由过椭圆C的右焦点$F（\sqrt{2}，0）$且经过短轴端点的直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），由OA⊥OB知tx₀+2y₀=0，再由${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$=4，利用基本不等式能求出线段AB长度的最小值．

解答 解：（1）设椭圆的短轴端点为（0，-b）（若为上端点则倾斜角为钝角），
则过右焦点与短轴端点的直线的斜率k=$\frac{0-（-b）}{\sqrt{2}-1}$=tan$\frac{π}{4}$=1，
∴$b=\sqrt{2}$，又$c=\sqrt{2}$，∴a=2，
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即就是tx₀+2y₀=0，…（6分）
解得t=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$．又${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$=4，
∴|AB|=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（${x}_{0}+\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀≤4），…（10分）
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4，（0＜x₀≤4），
且当$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}=\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即${{x}_{0}}^{2}$=4时等号成立，
所以线段AB长度的最小值为4．…（12分）

点评 本题考查椭圆性质、直线斜率、向量、基本不等式等基础知识，考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．