Question

9．过椭圆的右焦点F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，F₁为椭圆的左焦点，若△F₁AB为正三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根据题意，由于△F₁AB为正三角形，分析可得在Rt△AF₁F₂中，有|AF₁|=2|AF₂|，|F₁F₂|=2c=$\sqrt{3}$|AF₂|，再结合椭圆的定义可得2a=|AF₁|+|AF₂|=3|AF₂|，由椭圆离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，如图可得：
△F₁AB为正三角形，则Rt△AF₁F₂中，∠AF₁F₂=30°，
则有|AF₁|=2|AF₂|，|F₁F₂|=2c=$\sqrt{3}$|AF₂|，
点A在椭圆上，则有2a=|AF₁|+|AF₂|=3|AF₂|，
则该椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的几何性质，注意借助直角三角形的性质分析|AF₁|、|AF₂|、|F₁F₂|之间的关系．